חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה

Transcript

1 חזרה על מושגים בסיסיים במתמטיקה סימנים לפניכם טבלה של סימנים מקובלים הכתובים בבחינה. הסימן «x x x < x 0 < x, x ± x x : משמעותו הישרים ו- מקבילים זה לזה הישרים ו- מאונכים זה לזה זווית של 90, זווית ישרה הזווית הכלואה בין הקטע לקטע שווה ל- x שונה מ- x גדול מ- x גדול מ- x או שווה לו גם x וגם גדולים מ- 0 ל-) -( או יכול להיות שווה ל- x הערך המוחלט של : x אם < x 0 אזי x x אם < 0 x אזי x -x 0 0 היחס בין x ל- סוגי מספרים מספר שלם הוא מספר המורכב מיחידות שלמות. מספר שלם יכול להיות שלילי או חיובי. 0 הוא מספר שלם. לדוגמה:..., -, 0,,,,, -, -, -,... מספר שאי-אפשר לבטאו ביחידות שלמות. לדוגמה: -,,.7 מספר שלם: מספר לא שלם: מספרים עוקבים: מספר : מספר אי-: מספר ראשוני: מספרים שלמים הבאים זה אחר זה בהפרשים של. למשל, ו- 5 הם מספרים עוקבים,, ו- הם מספרים עוקבים, וכן (-) ו-( -) הם מספרים עוקבים. באופן כללי, אם n הוא מספר שלם, אזי n ו-) + n( הם מספרים עוקבים. מספר שלם שאם מחלקים אותו ב- מקבלים מספר שלם )כלומר, הוא מתחלק ב- ללא שארית(. שימו לב: מהגדרה זו עולה כי 0 הוא מספר. באופן כללי, אם n הוא מספר שלם, אזי n הוא מספר. מספר שלם שאם מחלקים אותו ב- מקבלים מספר לא שלם )כלומר, כשמחלקים אותו ב- מקבלים שארית (. באופן כללי, אם n הוא מספר שלם, אזי + n הוא מספר אי-. מספר שלם המתחלק ללא שארית בשני מספרים בלבד: בעצמו וב-. לדוגמה, הוא מספר ראשוני, מכיוון שהוא מתחלק ללא שארית רק ב- וב-. שים לב: אינו מספר ראשוני. חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

2 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם זוג מספרים שמכפלתם שווה ל-. דוגמאות: בעבור! 0! 0, $ ; ו- הם מספרים הופכיים מספרים הופכיים: הם מספרים הופכיים ; $ ו- מספרים נגדיים: זוג מספרים שסכומם שווה לאפס. לדוגמה, ו-( -) הם מספרים נגדיים, או במילים אחרות, (-) הוא המספר הנגדי ל-.( + (-) 0) פעולות חשבוניות במספרים ים ואי-ים )קרא מימין לשמאל( + אי- + אי- + אי- אי- אי- אי- אי- אי- אי- אי- אי- אי- אי- אי-, 6 אין כללים דומים בעבור פעולות חילוק. למשל, מנה של שני מספרים ים יכולה להיות אי-ת l. 6 l או מספר לא שלם ת l גורמים )מחלקים( וכפולות גורם )מחלק(: גורם של מספר שלם וחיובי הוא כל מספר שלם וחיובי שבו הוא מתחלק ללא שארית. לדוגמה, המספרים:,,,6,8,, ו- הם הגורמים )המחלקים( של. גורם משותף )מחלק משותף(: גורם משותף של x ו- הוא מספר שהוא גם גורם של x וגם גורם של. למשל, 6 הוא גורם משותף של ושל 0. גורם ראשוני )מחלק ראשוני(: גורם ראשוני הוא גורם )מחלק( שהוא גם מספר ראשוני. לדוגמה, ו- הם הגורמים הראשוניים של. כל מספר שלם וחיובי )גדול מ- ( אפשר לכתוב כמכפלה של גורמים ראשוניים. למשל: כפולה: כפולה של מספר שלם x היא כל מספר שלם המתחלק ב- x ללא שארית. למשל: 6, ו- 88 הם כפולות של 8.

3 פעולות חשבוניות בשברים צמצום: כאשר למונה ולמכנה של שבר יש גורם משותף, אפשר לחלק כל אחד מהם בגורם המשותף ולקבל שבר 6 השווה לשבר המקורי, עם מונה ומכנה קטנים יותר. למשל, אם נחלק את המונה והמכנה של ב- נקבל,. 6 l כפל: כדי לכפול שני שברים יש לכפול את המונים זה בזה ואת המכנים זה בזה. 5 $ 5 0 $ 7 $ 7 לדוגמה: $ $ $ או באופן כללי: חילוק: כדי לחלק מספר )שלם או שבר( בשבר, יש לכפול את המספר בשבר ההופכי לשבר המחלק..) הוא )השבר ההופכי ל-. 8 $ 8 6 לדוגמה: $ : $ 5 $ : או באופן כללי: $ $ כדי לכפול או לחלק מספר שלם בשבר, אפשר לראות במספר השלם שבר שהמכנה שלו הוא, למשל: חיבור וחיסור: כדי לחבר או לחסר שברים יש להפוך אותם לשברים בעלי מכנה משותף. מכנה משותף הוא מספר שאפשר לחלקו במכנה של כל אחד מהשברים בלי שארית. לאחר שמצאנו מספר המתאים לשמש מכנה משותף, עלינו "לתרגם" כל אחד מהשברים לשבר בעל מכנה השווה למכנה המשותף. לשם כך יש לכפול בכל שבר את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם, כך שבמכנה יתקבל המספר שנבחר לשמש מכנה משותף. מכיוון שהכפלנו את המונה ואת המכנה באותו מספר, למעשה הכפלנו את השבר ב-, וערכו לא השתנה. לאחר העברת השברים למכנה משותף יש לחבר או לחסר את המונים החדשים שהתקבלו, ואם אפשר - לצמצם את התוצאה. 5 לדוגמה, יש לפתור את התרגיל: מכנה משותף אפשרי הוא, שכן הוא מתחלק במכנה של כל אחד מהשברים ללא שארית: "נתרגם" כל אחד מהשברים לשבר בעל מכנה משותף זה: : 6, : 6, : 8 $ 6 8 כדי להפוך את לשבר שמכנהו, יש לכפול את המונה ואת המכנה ב- 6 : $ 6 $ כדי להפוך את לשבר שמכנהו, יש לכפול את המונה ואת המכנה ב- : 6$ 6 5$ 5 5 כדי להפוך את לשבר שמכנהו, יש לכפול את המונה ואת המכנה ב- : 8$ 8 בשלב הבא יש לחבר את המונים בלבד: חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

4 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם אחוזים אחוזים הם מקרה פרטי של שברים: % מ- x הם $ x. בשאלות שבהן מופיעים אחוזים, ת רגמו אותם למאיות 00 ופ תרו כמו בתרגילי שברים רגילים. דוגמה : כמה הם 60 אחוזים מ- 80? )או: כמה הם 60% מ- 80?( במקום 60 אחוזים הציבו 60 מאיות, נסחו את השאלה כביטוי מתמטי, ופ תרו כמו מכפלה רגילה של $ 80 6$ 80 $ כלומר, 60% מ- 80 הם.8 שברים: דוגמה : יוסי נדרש לשלם מס של 5 שקלים מתוך 50 שקלים שהרוויח. מה אחוז המס? למעשה, השאלה היא "כמה אחוזים מ- 50 הם 5?" 5 : ונפתור את המשוואה כדי למצוא את, $ נתרגם את השאלה לביטוי מתמטי: ולכן 0. כלומר, 5 הם 0% מ- 50, וזה אחוז המס. בשאלות העוסקות במציאת השינוי באחוזים, תרגמו את השאלה לאחת משתי התבניות הכלליות המוצגות בדוגמאות ו- )כמה הם אחוזים מ- x? או כמה אחוזים מ- x הם?(, ופ תרו כמו תרגיל בשברים. דוגמה : מחירו של פריט שעלה 80 שקלים הועלה ב- 5%. מה מחירו החדש? בשאלות הנוגעות לשינוי באחוזים בדרך כלל מדובר באחוז מתוך המחיר ההתחלתי, אלא אם כן נאמר במפורש אחרת. מכיוון שהוסיפו 5% על המחיר הישן, המחיר החדש הוא 5% מהמחיר הישן (5% + 00%), ולכן עליכם למצוא כמה הם 5% מ- 80 )כמו בדוגמה (. 5 נציב מאיות במקום אחוזים, ונפתור: $ כלומר, המחיר החדש הוא 00 שקלים. 00 דוגמה : מחירו של פריט ירד מ- 5 ל- שקלים. בכמה אחוזים ירד המחיר? בדוגמה זו נתון השינוי במחירו של פריט מסוים, ויש לחשב את אחוז השינוי. יחס השינוי במחיר הוא שקלים מתוך 5 שקלים. יש לחשב כמה אחוזים מ- 5 הם. )בדומה לדוגמה (. $ 00 נתרגם את השאלה לביטוי מתמטי: 5, $ נפתור את המשוואה ונמצא את, 0 : 5 00 כלומר, המחיר ירד ב- 0%. היחס בין x ל- נרשם x. : שימו לב: בניסוח מילולי יחס נרשם מימין לשמאל, ובניסוח מתמטי )במספרים( - משמאל לימין. למשל, היחס בין מספר זוגות הגרביים של איתי לבין מספר החולצות שלו הוא. : כלומר, על כל זוגות גרביים ממספר החולצות שלו. יש לאיתי חולצות. בניסוח אחר, מספר זוגות הגרביים של איתי גדול פי ממוצע ממוצע חשבוני של קבוצת ערכים הוא סכום הערכים מחולק במספר הערכים למשל, הממוצע של קבוצת הערכים 0 5,,, ו- הוא 8, כי: אם נתון הממוצע של קבוצת ערכים, אפשר לחשב את סכומם על ידי הכפלת הממוצע במספר הערכים. למשל, בשאלה: דני קנה 5 פריטים שמחירם הממוצע 0 שקלים. כמה שילם דני תמורת כל הפריטים? נכפיל את הממוצע במספר הפריטים, ונקבל: , כלומר דני שילם בסך הכול 50 שקלים תמורת כל הפריטים שקנה. כאשר מצוין בשאלות המונח "ממוצע" הכוונה היא ל"ממוצע חשבוני".

5 ממוצע משוקלל הוא ממוצע המתחשב במשקלו היחסי של כל אחד מהערכים בקבוצה. לדוגמה: בבחינת אמצע הקורס היה ציונו של יוסי 75, ובבחינת הגמר היה ציונו 90. אם משקלה של בחינת הגמר גדול פי ממשקלה של בחינת אמצע הקורס, מה יהיה ציונו הסופי של יוסי בקורס? קבוצת הערכים במקרה זה היא 75 ו- 90, אך לכל אחד מהם משקל אחר בציונו הסופי של יוסי בקורס. לציון 75 יש משקל, ולציון 90 יש משקל. כדי לחשב את הממוצע המשוקלל יש להכפיל כל ציון $ 75+ $ 90 במשקל שניתן לו, ולחלק בסכום המשקלים: 85 כלומר, הציון של יוסי בקורס הוא חישוב זה זהה לחישוב ממוצע חשבוני רגיל של שלושה מספרים: 90, 75 ו חזקות ושורשים העלאה של מספר בחזקת )n n שלם וחיובי( היא הכפלתו בעצמו n פעמים. למשל: $... $ $ או באופן כללי: n n פעמים n נקרא חזקה, n נקרא מעריך החזקה, ו- נקרא בסיס החזקה. 0 כל מספר שונה מאפס המועלה בחזקת 0 שווה ל-, כלומר, לכל! 0. כאשר מעלים מספר בחזקת מעריך שלילי, התוצאה שווה לחזקה המתקבלת מהעלאת ההופכי לבסיס בחזקת המספר הנגדי למעריך - l $ $ 8 למשל: n -n l n או באופן כללי: שורש מסדר n של מספר חיובי, המסומן n : נקבל את n, שאם נעלה אותו בחזקת הוא מספר חיובי, n n כי למשל: 6 כי כי כי 8 m n n חשוב להדגיש: כאשר כתוב < ) 0( הכוונה היא לשורש החיובי של. כאשר לא מצוין סדר השורש, הכוונה היא לשורש מסדר. שורש מסדר נקרא גם שורש ריבועי, למשל: אפשר גם לבטא שורש כחזקה שבה המעריך הוא שבר. שבר זה הוא ההופכי לסדר השורש:.)0 < ( n חוקים בסיסיים לפעולות בחזקות )בעבור כל n ו- m (: כפל: כדי לכפול חזקות בעלות אותו בסיס, יש לחבר את מעריכי החזקות: m n m + n חילוק: כדי לחלק חזקות בעלות אותו בסיס, יש לחסר את מעריך החזקה שבמכנה ממעריך החזקה שבמונה: ] m ng שימו לב! כאשר בסיסי החזקות אינם זהים, אי-אפשר לחבר או לחסר את המעריכים. העלאה בחזקה: כדי להעלות חזקה בחזקה יש להכפיל את המעריכים זה בזה: ^ m n ] m$ ng חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

6 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם m m l m העלאה בחזקה של מכפלה או של מנה: ( ) m m m מכיוון שאפשר לבטא שורשים גם כחזקות, אפשר להפעיל את חוקי החזקות גם על שורשים. m n m n $ $,] נבטא את השורשים כחזקות: 0 < g m $ למשל, כדי לחשב את המכפלה: n ובשלב הבא נפעל כמו במכפלה של חזקות, כלומר, נחבר את המעריכים: להלן כמה כללים עיקריים בנוגע לאי-שוויונים בחזקות: m n m + n l $ n < n אזי ו- < n 0 אם < < 0 n < n אזי ו- < 0 n אם < < 0 m < n אזי ו- m < n אם < n < m אזי ו- m < n אם < < 0 נוסחאות כפל מקוצר כדי לכפול שני ביטויים הנתונים בסוגריים, שכל אחד מהם הוא סכום של מחוברים, יש לכפול כל אחד מאיברי הביטוי הראשון בכל אחד מאיברי הביטוי השני ואחר-כך יש לחבר את המכפלות. למשל, ( + ) ( + ) לפי נוסחה כללית זו אפשר לפתור כל מכפלה של שני ביטויים, אך כדי לחסוך זמן ייתכן שתרצו לזכור בעל פה כמה נוסחאות נפוצות: ( + ) ( + ) ( + ) + + ( ) ( ) ( ) + קומבינטוריקה ( ) ( + ) מספר תוצאות בניסוי רב-שלבי מספר התוצאות האפשריות של ניסוי בן כמה שלבים, שאינם משפיעים זה על זה )בלתי תלויים(, הוא מכפלת מספר התוצאות האפשריות בכל אחד מהשלבים. לדוגמה, נטיל קובייה ולאחר מכן נטיל מטבע. מה מספר התוצאות האפשריות של ניסוי זה? מספר התוצאות האפשריות בהטלת קובייה הוא 6 ומספר התוצאות האפשריות בהטלת מטבע הוא, ולכן מספר התוצאות האפשריות של ניסוי זה הוא 6. אחת מ- התוצאות האפשריות היא: המספר בקובייה והצד "עץ" במטבע. למעשה, אין זה משנה אם מטילים את הקובייה ורק אחר כך מטילים את המטבע, או להפך, אם מטילים את המטבע ואחר כך את הקובייה, או שמטילים את שניהם יחד. בכל מקרה, יש תוצאות אפשריות. מדגמים סדורים כאשר יש חשיבות לסדר התוצאות המתקבלות בניסוי רב-שלבי, מדובר במדגמים סדורים. לדוגמה, בסל יש 9 פתקים שעליהם כתובות הספרות עד 9. מוציאים באקראי פתקים בזה אחר זה, רושמים )בשורה( את הספרות הכתובות עליהם ומקבלים מספר תלת-ספרתי. כמה מספרים שונים אפשר ליצור באופן זה? ברור שלסדר התוצאות המתקבלות יש חשיבות, למשל, המספר שונה מהמספר. כדי לדעת כמה מספרים שונים אפשר ליצור יש לדעת מהו אופן הדגימה. א. הדגימה נעשתה עם החזרה: מחזירים כל פתק לסל אחרי הוצאתו וכך מאפשרים את הוצאתו פעם נוספת. מספר הספרות שאפשר לבחור בכל פעם שמוציאים פתק הוא 9. לכן מספר המספרים התלת-ספרתיים שאפשר ליצור הוא ב. הדגימה נעשתה ללא החזרה: משאירים מחוץ לסל את הפתקים שנבחרו. מספר הספרות שאפשר לבחור בהוצאת הפתק הראשון הוא 9, בהוצאת הפתק השני רק 8 )כי כבר הוצא פתק אחד מהסל( ובהוצאת הפתק השלישי 7, ולכן מספר המספרים התלת-ספרתיים שאפשר ליצור הוא

7 באופן כללי, מספר האפשרויות ליצור שורה מסודרת של עצמים מתוך קבוצה של n עצמים ) מתוך 9 בדוגמה הנ"ל(, הוא: א. n, אם כל עצם יכול להיבחר יותר מפעם אחת )דגימה עם החזרה(. ב. ( + n, n) (... n) אם כל עצם יכול להיבחר פעם אחת לכל היותר )דגימה ללא החזרה(. מספר סידורים פנימיים מספר הסידורים הפנימיים השונים של 9 הפתקים הוא למעשה מספר האפשרויות ליצור שורה מסודרת של כל 9 הפתקים, כאשר כל פתק מופיע בה רק פעם אחת ),(n והוא שווה ל- 6, באופן כללי, אם n הוא מספר העצמים בקבוצה, מספר הסידורים האפשריים של העצמים הוא:... ) (n.n מספר זה מסומן,n! ונקרא n" ע צ רת". 7 מדגמים לא סדורים כאשר אין חשיבות לסדר התוצאות המתקבלות בניסוי רב-שלבי, מדובר במדגמים לא סדורים. לדוגמה, בסל יש 9 עטים, כל אחד מהם בצבע שונה. מוציאים באקראי עטים בלי החזרה. כמה מדגמים של עטים בצבעים שונים אפשר לקבל? מספר המדגמים הסדורים הוא: ,9 מספר הסידורים הפנימיים )בכל מדגם( הוא: 6 מספר המדגמים הלא סדורים הוא: ובאופן כללי, מספר המדגמים הלא סדורים שווה למספר המדגמים הסדורים חלקי מספר הסידורים הפנימיים במדגם. הסתברות תורת ההסתברות היא מודל מתמטי לתופעות )ניסויים( שהתרחשותן אינה ודאית. במצב כזה ייתכנו מספר תרחישים או תוצאות. לכל תוצאה אפשרית קוראים "מאורע פשוט", ולאוסף של תוצאות קוראים "מאורע" )לשם קיצור, נשתמש בהמשך במונח "מאורע" גם לציון "מאורע פשוט"(. משייכים לכל מאורע מספר בין 0 ל-, שמשקף את ההסתברות )מידת הסבירות( שהמאורע יתרחש. ככל שההסתברות גדולה יותר, כך גדלים סיכויי ההתרחשות של אותו מאורע. כאשר התרחשותו של מאורע היא ודאית, ההסתברות להתרחשותו היא, וכאשר המאורע לא ייתכן בשום מקרה, ההסתברות להתרחשותו היא 0. לעתים כל התוצאות האפשריות של ניסוי הן שוות הסתברות )כלומר, כל המאורעות הפשוטים הם שווי הסתברות(. דוגמאות לניסויים כאלה. הטלת מטבע: ההסתברות לקבל "עץ" שווה להסתברות לקבל "מספר" )או " פ לי"(. הסתברות זו היא. 6 הטלת קובייה: ההסתברות לקבל כל אחד מהמספרים הרשומים על פאות הקובייה היא במקרים אלה נאמר שהמטבע הוגן / שהקובייה הוגנת. הוצאת כדור באקראי מתוך כד שיש בו מספר כדורים: נניח שבכד יש 5 כדורים שגודלם זהה. ההסתברות להוציא. 5 באקראי כל אחד מהכדורים היא כאשר כל התוצאות האפשריות הן שוות הסתברות, מחשבים את הסתברות התרחשותו של מאורע כך: מספר התוצאות האפשריות של המאורע המסוים הזה, חלקי סך כל התוצאות האפשריות של הניסוי )התופעה(. מכיוון שיש 6 או למשל, ההסתברות שבהטלת קובייה יתקבל המאורע: "התוצאה קטנה מ- או שווה ל- " היא תוצאות אפשריות למאורע זה )התוצאות, ו- (, ויש בסך הכול 6 תוצאות אפשריות בניסוי הטלת קובייה. הסתברות התרחשותם של שני מאורעות כאשר מתרחשים שני מאורעות במקביל או בזה אחר זה ייתכנו שני מצבים: א. המאורעות בלתי תלויים, כלומר ההסתברות להתרחשותו של המאורע האחד אינה מושפעת מהתרחשותו של המאורע האחר. ההסתברות להתרחשותם של שני המאורעות שווה למכפלת ההסתברויות של כל מאורע בנפרד. למשל, ההסתברות שבהטלת שתי קוביות הוגנות יתקבל פעמיים מספר קטן מ- או שווה ל-, שווה למכפלת ההסתברויות שיתקבל מספר קטן מ- או שווה ל- בכל אחת מההטלות בנפרד, מכיוון שתוצאת הטלתה של קובייה אחת אינה משפיעה על הסתברות התוצאה המתקבלת בהטלת הקובייה השנייה. הסתברות זו שווה ל- $. חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

8 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם ב. המאורעות תלויים, כלומר ההסתברות שיתרחש מאורע אחד מושפעת מהתרחשותו של מאורע אח ר. במילים אחרות, הסתברות התרחשותו של מאורע מסוים ל א ח ר )או בתנאי( התרחשותו של מאורע אח ר שונ ה מהסתברות התרחשותו של המאורע המסוים )ללא התרחשות התנאי(. למשל, ההסתברות של המאורע "התוצאה קטנה מ- או שווה ל- " )נקרא ל מאורע (, בתנאי שידוע לנו שבהטלת הקובייה התרחש המאורע "התוצאה ת" )נקרא למאורע זה (, תחושב כך: הסתברות התרחשותו של היא מספר התוצאות שבהן התרחשו גם וגם )בדוגמה רק התוצאה היא גם קטנה מ- או שווה ל- וגם ת(, חלקי מספר התוצאות שבהן התרחש )התוצאות, ו- 6 הן ות(.. לכן ההסתברות המבוקשת היא כפי שחושב קודם לכן(. הסתברות זו שונה מהסתברות המאורע )השווה ל- דרך, מהירות וזמן מהירותו של גוף היא המרחק שהגוף עובר ביחידת זמן. הנוסחה המקשרת בין המהירות, המרחק שעבר הגוף והזמן s שנדרש לו לעבור את המרחק היא: v כאשר: v מהירות t s מרחק t זמן s מנוסחה זו אפשר לגזור את כל הקשרים האפשריים בין מרחק, מהירות וזמן: t s v t, v בדרך כלל המרחק מצוין בקילומטרים )ק"מ(, הזמן - בשעות, והמהירות - בקילומטרים לשעה )קמ"ש(. אך אפשר כמובן להשתמש ביחידות מדידה אחרות. למשל: לציין את המרחק במטרים, את הזמן בשניות ואת המהירות במטרים לשנייה. לדוגמה: נתון שרכבת נסעה 0 ק"מ במהירות של 80 קמ"ש, ועליכם לחשב כמה זמן ארכה הנסיעה: 0 s נתונים )80 v קמ"ש( ו- )0 s ק"מ(, ועליכם לחשב את t, לכן נציב את הנתונים בנוסחה t,. t 80 v כלומר, הנסיעה ארכה שעות. אפשר להמיר מטרים לק"מ ושניות לשעות, ולהפך. בכל ק"מ יש, 000 מטרים ) מטר ק"מ(., 000 בכל שעה יש,600 שניות שהן 60 דקות ) שנייה שעה(., 600 5, 000 מהירות של קמ"ש שווה למהירות של מטרים לשנייה )או מטרים לשנייה(. 8, 600 מהירות של מטרים לשנייה שווה למהירות של.6 קמ"ש. הספק הספק הוא כמות עבודה ביחידת זמן. w הנוסחה המקשרת בין ההספק, כמות העבודה והזמן הנדרש לביצוע העבודה היא: p t הספק p כאשר: כמות עבודה w זמן t w מנוסחה זו אפשר לגזור את כל הקשרים האפשריים בין הספק, כמות עבודה וזמן: t, w p t p לדוגמה, בנאי מסיים לבנות קיר אחד ב- שעות. כמה שעות יידרשו לשני בנאים העובדים באותו קצב לסיים את בנייתם של 5 קירות? 8

9 כאן נתונה כמות העבודה של בנאי אחד )קיר אחד(, וזמן עבודתו ) שעות(. לכן ההספק שלו הוא קיר בשעה. מכיוון שהשאלה היא על שני בנאים, ההספק של שניהם הוא $ נתונה לנו גם כמות העבודה ששני הבנאים יידרשו לעשות - 5 קירות, ולכן אפשר לחשב את הזמן שיידרש להם: 5 7 $ 5 5: t. כלומר, יידרשו להם 7 שעות. 9 ישרים מקבילים )קווים מקבילים( קווים מקבילים החותכים שני ישרים כלשהם, מחלקים את הישרים לקטעים פרופורציונליים באורכם. למשל בסרטוט,, וגם + + אפשר למצוא יחסים נוספים בין הקטעים על סמך היחסים הנתונים. זוויות זווית ישרה היא זווית בת 90. זווית חדה היא זווית קטנה מ- 90. זווית קהה היא זווית גדולה מ- 90. x זוויות צמודות שתי זוויות הנוצרות בין ישר לבין קרן היוצאת מנקודה על הישר נקראות זוויות צמודות. הן יוצרות יחד זווית שטוחה, ולכן סכומן הוא 80. למשל בסרטוט, x ו- הן זוויות צמודות, ולכן 80. x + x w z זוויות קדקודיות במפגש של שני ישרים החותכים זה את זה, נוצרות ארבע זוויות. כל שתיים מהן שאינן צמודות נקראות זוויות קדקודיות, והן שוות זו לזו בגודלן. בסרטוט, x ו- z הן זוויות קדקודיות וכך גם ו- w. ולכן, x z וגם. w e f g כאשר ישר חותך שני ישרים מקבילים, נוצרות שמונה זוויות. למשל בסרטוט:, g, f, e,,,, זוויות מתאימות זוויות מתאימות הן זוויות הנמצאות באותו צד של הישר החותך ובאותו צד של הקווים המקבילים. זוויות מתאימות שוות זו לזו בגודלן. לכן בסרטוט:, f, g, e זוויות מתחלפות זוויות מתחלפות נמצאות בצדדים מנוגדים של הישר החותך, ובצדדים מנוגדים של הישרים המקבילים. זוויות מתחלפות שוות זו לזו בגודלן. לכן בסרטוט: g,, e, f אפשר למצוא יחסים נוספים בין הזוויות השונות, בהתבסס על היחסים הנתונים. למשל: היות ש- ו- הן זוויות צמודות )כלומר 80 ( + והיות ש- ו- f הן זוויות מתחלפות )כלומר,) f ברור כי 80 f. + בדרך דומה אפשר גם להוכיח כי 80 e, + וכן הלאה. חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

10 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם δ γ משולשים זוויות המשולש סכום הזוויות הפנימיות בכל משולש הוא.80 בסרטוט, 80 γ. + + זווית הצמודה לאחת מזוויות המשולש נקראת זווית חיצונית, והיא שווה לסכומן של שתי הזוויות האחרות במשולש. למשל בסרטוט, δ היא זווית הצמודה ל-, ולכן.δ + γ בכל משולש, מול זווית גדולה יותר נמצאת צלע ארוכה יותר. למשל בסרטוט: אם γ, < < נובע מכך כי הצלע )שנמצאת מול הזווית ( ארוכה מהצלע )שנמצאת מול הזווית (, והצלע ארוכה מהצלע )שנמצאת מול הזווית γ(. תיכון במשולש הוא קטע המחבר קדקוד במשולש עם אמצע הצלע שמולו. למשל, במשולש שבסרטוט הוא תיכון לצלע ולכן. גובה במשולש גובה לצלע במשולש הוא אנך לאותה צלע, העובר דרך קדקוד המשולש שנמצא מול צלע זו. למשל, בכל אחד מהמשולשים שבסרטוט הוא הגובה לצלע. E שטח המשולש שטח משולש שווה למחצית המכפלה של אורך צלע במשולש באורך הגובה לצלע זו. למשל, שטחו של כל אחד מהמשולשים בסרטוטים דלעיל הוא. $ אי-שוויון המשולש בכל משולש, סכום האורכים של כל שתיים מצלעותיו גדול מאורך הצלע השלישית. למשל, במשולשים שבסרטוטים דלעיל.( + ) > משולשים חופפים שתי צורות גאומטריות הן חופפות אם אפשר להניח אחת מהן על גבי האחרת באופן שבו שתיהן מכסות בדיוק זו את זו. מקרה פרטי של חפיפת צורות גאומטריות הוא חפיפת משולשים. משולשים חופפים הם משולשים שהצלעות והזוויות שלהם שוות בהתאמה. למשל בסרטוט: משולש חופף למשולש EF ולכן צלעותיהם שוות בהתאמה.γ ו- ε τ, δ וגם זוויותיהם שוות בהתאמה, ו- F EF, E כל אחד מארבעת המשפטים הבאים מאפשר לנו להסיק ששני משולשים חופפים: )א( שני משולשים חופפים אם שתיים מצלעות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים מצלעות המשולש האחר, והזווית שבין צלעות אלו במשולש האחד שווה לזווית המתאימה במשולש האחר )צ, ז, צ(. למשל, המשולשים שבסרטוט חופפים אם F, E ו- δ. )ב( שני משולשים חופפים אם שתיים מזוויות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים מזוויות המשולש האחר, וגם הצלע שבין זוויות אלו במשולש האחד שווה לצלע המתאימה במשולש האחר )ז, צ, ז(. למשל, המשולשים שבסרטוט חופפים אם τ, δ ו- E. )ג( שני משולשים חופפים אם שלוש הצלעות במשולש האחד שוות לשלוש הצלעות במשולש האחר )צ, צ, צ(. )ד( שני משולשים חופפים אם שתיים מצלעות המשולש האחד שוות בהתאמה לשתיים מצלעות המשולש האחר, והזווית שמול הצלע הגדולה מתוך השתיים במשולש האחד שווה לזווית המתאימה במשולש האחר )צ, צ, ז(. למשל, המשולשים שבסרטוט חופפים אם F, E ו- ε γ )כאשר > ו- F.)E > τ δ γ ε F 0

11 משולשים דומים שני משולשים דומים אם שלוש הזוויות באחד המשולשים שוות לשלוש הזוויות במשולש האחר. בשני משולשים דומים, היחס בין כל שתי צלעות במשולש האחד זהה ליחס בין שתי הצלעות המתאימות במשולש האחר. + + למשל, המשולשים ו- EF בסרטוט הם משולשים דומים, E ולכן וכדומה. F E FF E מכך נובע גם: F EF γγ γ סוגי משולשים משולש שווה צלעות הוא משולש שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן. הזוויות שוות בגודלן (60 ). כזה גם כל במשולש למשל בסרטוט:. אם אורך הצלע של משולש כזה הוא, אזי גובהו הוא ושטחו הוא. 60 משולש שווה שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו באורכן. למשל בסרטוט:. שתי הזוויות שמול הצלעות השוות, שוות זו לזו בגודלן. למשל בסרטוט:. γ 60 γγ משולש חד זווית הוא משולש שכל זוויותיו חדות. משולש קהה זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו קהה. משולש ישר זווית הוא משולש שאחת מזוויותיו ישרה (90 ). "יתר", ושתי הצלעות האחרות נקראת ) הצלע )בסרטוט: הצלע שמול הזווית הישרה נקראות "ניצבים" )בסרטוט: ו- (. לפי משפט פיתגורס - במשולש ישר זווית, ריבוע היתר שווה לסכום ריבועי הניצבים.. + למשל בסרטוט: בעזרת נוסחה זו אפשר למצוא את אורכה של כל צלע, אם נתונים אורכיהן של שתי הצלעות האחרות. 0 5 ו- 90, אורך הניצב שמול הזווית 60,0 הזוויות הם במשולש ישר זווית שבו גודלי שגודלה 0 שווה למחצית אורך היתר., שמול הזווית שגודלה 0 הוא הניצב ולכן אורך למשל בסרטוט: אורך היתר הוא 0 0 ולפי משפט פיתגורס אורך הניצב שמול הזווית שגודלה 60 הוא במשולש ישר זווית ושווה שוקיים גודלי הזוויות הם 5, 5 ו- 90, שני הניצבים שווים מאורך הניצבים )לפי משפט פיתגורס(. זה לזה באורכם, ואורך היתר גדול פי אורך היתר הוא. הוא ולכן למשל בסרטוט: אורך כל אחד מהניצבים 5 5 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

12 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם מרובעים מרובע הוא כל מצולע בעל צלעות. לדוגמה: + + סוגי מרובעים מלבן וריבוע מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות. במלבן כל זוג צלעות נגדיות שוות זו לזו באורכן. היקף המלבן שבסרטוט הוא, + או ).( + אורך האלכסון במלבן שבסרטוט הוא + )לפי משפט פיתגורס(. שטח המלבן (S) שווה למכפלת האורכים של שתי צלעות סמוכות. למשל בסרטוט:.S ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן. היקף הריבוע שבסרטוט הוא. אורך אלכסון הריבוע שבסרטוט הוא. + שטח הריבוע שווה לריבוע אורך הצלע. למשל בסרטוט: S. טרפז טרפז הוא מרובע שיש בו רק זוג אחד של צלעות מקבילות. הצלעות המקבילות נקראות "בסיסים". שתי הצלעות האחרות נקראות "שוקיים". בסיסי הטרפז אינם שווים זה לזה, ולכן מכנים אותם לעתים "בסיס גדול" ו"בסיס קטן". גובה בטרפז הוא קטע המחבר בין שני בסיסי הטרפז ומאונך להם. שטח הטרפז שווה למכפלה של סכום אורכי הבסיסים במחצית הגובה. למשל בסרטוט: אורך הבסיס הגדול )( הוא אורך הבסיס הקטן )( הוא אורך הגובה הוא ) ( S $ + שטח הטרפז הוא טרפז שווה שוקיים הוא טרפז שבו השוקיים שוות זו לזו באורכן. למשל בסרטוט:. בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס הגדול שוות זו לזו, וזוויות הבסיס הקטן שוות זו לזו. למשל בסרטוט:.««, ««בטרפז כזה, כשמורידים שני גבהים מקצות הבסיס הקטן לבסיס הגדול, מתקבלים מלבן ושני משולשים ישרי זווית חופפים. טרפז ישר זווית הוא טרפז שבו אחת מזוויות הבסיס ישרה )ראה סרטוט(.

13 מקבילית ומעוין מקבילית היא מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות זו לזו ושוות באורכן זו לזו. למשל, במקבילית שבסרטוט:,, האלכסונים במקבילית חוצים זה את זה. היקף המקבילית שבסרטוט הוא. + שטח מקבילית שווה למכפלת צלע בגובה לאותה צלע. למשל, במקבילית שבסרטוט השטח הוא. מעוין הוא מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות זו לזו באורכן. במעוין, כל זוג של צלעות נגדיות הן מקבילות, ולכן אפשר לראות בו מקבילית שכל צלעותיה שוות. אלכסונים במעוין מכיוון שמעוין הוא סוג של מקבילית, גם בו האלכסונים חוצים זה את זה. במעוין האלכסונים גם מאונכים זה לזה. מכיוון שכל צלעות המעוין שוות זו לזו באורכן, היקף המעוין שבסרטוט הוא. שטח מעוין מכיוון שמעוין הוא סוג של מקבילית, גם את שטחו אפשר לחשב כמכפלת צלע בגובה )לאותה צלע(. למשל, במעוין שבסרטוט השטח הוא. כמו כן, אפשר לחשב את שטח המעוין כמחצית המכפלה של אורכי האלכסונים. למשל, שטח המעוין שבסרטוט הוא: $ דלתון דלתון הוא מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים המחוברים בבסיסם. למשל בסרטוט: הדלתון מורכב מהמשולשים ו-,.(, ) האלכסון המחבר בין הקדקודים של שני המשולשים שווי השוקיים חוצה את האלכסון שהוא בסיסם של שני משולשים אלה, ומאונך לו. למשל בסרטוט: חוצה את וגם. היקף הדלתון שבסרטוט הוא. + שטח דלתון שווה למחצית המכפלה של אורכי האלכסונים. למשל, שטח הדלתון שבסרטוט הוא: $ מצולע משוכלל מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות זו לזו באורכן וכל זוויותיו הפנימיות שוות זו לזו בגודלן. דוגמאות: מחומש משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 5 צלעות. משושה משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 6 צלעות. מתומן משוכלל הוא מצולע משוכלל בעל 8 צלעות אפשר לחשב את גודל הזווית הפנימית במצולע משוכלל בעל n צלעות בעזרת הנוסחה הבאה: l n חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

14 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם דוגמה: בסרטוט מוצג משושה משוכלל. גודל כל אחת מזוויותיו הפנימיות הוא 0, שכן, 0 6 מעגל, עיגול רדיוס הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה כלשהי על היקפו. מיתר במעגל הוא קטע העובר בתוך המעגל ומחבר שתי נקודות שונות הנמצאות על היקפו. קוטר הוא מיתר במעגל העובר דרך מרכז המעגל. אורך הקוטר במעגל שווה לפעמיים אורך הרדיוס. אם נסמן את אורך רדיוס המעגל ב-, אזי אורך הקוטר במעגל הוא. חלק המעגל שבין שתי נקודות על היקפו נקרא קשת. היקף מעגל שאורך רדיוסו הוא π )ערכו של π הוא. בקירוב(. שטח מעגל שאורך רדיוסו הוא. π )לעתים, משתמשים במונח "שטח עיגול" במקום "שטח מעגל".( זווית היקפית במעגל. זווית היקפית היא זווית שקדקודה נמצא על היקף המעגל ושוקיה הם מיתרים זוויות היקפיות הנשענות על אותה הקשת שוות בגודלן. למשל בסרטוט: הזוויות ו- הן זוויות היקפיות הנשענות שתיהן על הקשת, ולכן. זווית היקפית הנשענת על קוטר )כלומר, על קשת שאורכה מחצית היקף המעגל( היא זווית ישרה. זווית מרכזית זווית מרכזית היא זווית שקדקודה במרכז המעגל ושוקיה הם רדיוסים במעגל. זווית מרכזית גדולה פי מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת. I מרכזית ו- היא II זווית היקפית, ושתיהן נשענות על אותה למשל בסרטוט: היא זווית קשת, ולכן. II I קשת x היקף מעגל תוחמות שתי קשתות. שתי נקודות על האחת מתאימה לזווית - - למשל בסרטוט: הנקודות ו- תוחמות שתי קשתות המרכזית והאחרת לזווית IV המרכזית-. III הקשת הקצרה מתאימה לזווית הקטנה x מן השתיים -. - אורכה של IV קשת זו הוא: - III ) p הוא רדיוס המעגל(. 60 xº xº גזרה חלק העיגול התחום בין שני רדיוסים וקשת נקרא גזרה. את הזווית המרכזית k הנוצרת בין שני הרדיוסים מכנים גם זווית ראש. למשל, החלק הכהה בסרטוט הוא גזרת עיגול בעלת זווית ראש x. p x שטח גזרת העיגול הוא: m 60 k m משיק למעגלx בנקודה אחת בלבד הנקראת - המעגל - - בהיקף - הנוגע ישר הוא משיק למעגל - "נקודת ההשקה". - xהזווית בין הרדיוס לבין המשיק, באותה הנקודה, היא זווית ישרה למשל בסרטוט, - הישר משיק למעגל שרדיוסו F x

15 שני משיקים למעגל שני ישרים המשיקים לאותו מעגל ונחתכים בנקודה )אחת( נקראים גם שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת. אורך כל אחד מהמשיקים הוא אורך הקטע המחבר את נקודת החיתוך של המשיקים עם נקודת ההשקה של המשיק עם המעגל. משיקים למעגל היוצאים מנקודה אחת שווים זה לזה באורכם. למשל בסרטוט: היא נקודת החיתוך, ו- הן נקודות ההשקה, ולכן. מצולע חוסם מעגל מצולע החוסם מעגל הוא מצולע שכל אחת מצלעותיו משיקה למעגל. 5 מצולע חסום במעגל מצולע החסום במעגל הוא מצולע שכל קדקודיו נמצאים על היקף המעגל. משולש חסום במעגל כל משולש אפשר לחסום במעגל. לכל משולש יש מעגל אחד בלבד החוסם אותו )כלומר, מעגל שקדקודי המשולש נמצאים על היקפו(. אם המשולש החסום הוא ישר זווית, מרכז המעגל החוסם אותו הוא אמצע היתר של המשולש. מרובע חסום במעגל לא כל מרובע אפשר לחסום במעגל. במרובע חסום במעגל סכום הזוויות הנגדיות שווה תמיד ל- 80. למשל, במרובע שבסרטוט: 80 γ + + δ 80 מרובע חוסם מעגל במרובע החוסם מעגל, סכום האורכים של כל זוג צלעות נגדיות שווה. למשל, במרובע שבסרטוט:. + + במקרה של ריבוע החוסם מעגל, אורך צלע הריבוע שווה לאורך של קוטר המעגל )ראה סרטוט(. צורות תלת-ממדיות )גופים( תיבה וקובייה תיבה היא גוף תלת-ממדי בעל שש פאות מלבניות. שלושת ממדי התיבה הם האורך, הרוחב והגובה ), ו- בהתאמה בסרטוט(. שטח הפנים של תיבה הוא סכום שטחי פאותיה. שטח הפנים של התיבה בסרטוט הוא:. + + או: נפח ) V ( של תיבה הוא מכפלה של האורך, הרוחב והגובה. בתיבה שבסרטוט.V II I קובייה היא תיבה שבה האורך, הרוחב והגובה שווים זה לזה בגודלם. בקובייה כל הפאות שוות זו לזו בשטחן., שטח כל פאה בקובייה שבסרטוט הוא II.6 I הקובייה הוא x ולכן שטח הפנים של x - - III - IV נפח הקובייה - שבסרטוט הוא - - חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם xº k III - IV x E - - -

16 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם גליל גליל הוא גוף תלת-ממדי ששני בסיסיו הם מעגלים חופפים זה לזה הנמצאים במישורים מקבילים. הקו המחבר את מרכזי המעגלים מאונך לכל אחד מהבסיסים. שטח המעטפת של גליל שאורך רדיוס בסיסו וגובהו הוא מכפלת היקף הבסיס בגובה הגליל, כלומר,.π שטח הפנים של גליל הוא סכום שטחי הבסיסים והמעטפת. שטח כל בסיס הוא π ושטח המעטפת הוא,π לכן שטח הפנים הוא ).π + π π ( + נפח הגליל הוא מכפלת שטחו של אחד הבסיסים בגובה הגליל, כלומר.π חרוט חרוט הוא הגוף התלת-מימדי שנוצר מחיבור הנקודות שעל היקף מעגל כלשהו עם נקודה הנמצאת מחוץ למישור המעגל. חרוט ישר נוצר כאשר הנקודה שמחוץ למעגל נמצאת על ישר שעובר דרך מרכז המעגל ומאונך למישור המעגל )ראה סרטוט(. V $ נפח חרוט שרדיוס בסיסו וגובהו הוא מנסרה ישרה מנסרה ישרה היא גוף תלת-ממדי ששני בסיסיו הם מצולעים חופפים זה לזה הנמצאים במישורים מקבילים, ופאותיו הצדדיות הן מלבנים. כל מנסרה מכ ונ ה על פי מספר הצלעות של בסיסה. למשל, מנסרה משולשת היא בעלת בסיסים משולשים, מנסרה מרובעת היא בעלת בסיסים מרובעים וכו' )ראה סרטוטים(. גובה המנסרה הוא אורך הקטע המחבר בין הבסיסים ומאונך להם. זה המרחק בין בסיסי המנסרה. שטח המעטפת של מנסרה הוא סכום שטחי כל הפאות הצדדיות. אפשר לחשב את שטח המעטפת גם כמכפלה של היקף בסיס המנסרה בגובה המנסרה. שטח הפנים של מנסרה הוא סכום שטח המעטפת ושטחי שני הבסיסים של המנסרה. נפח המנסרה שווה למכפלת שטח אחד הבסיסים בגובה המנסרה. פירמידה )ישרה( פירמידה היא הגוף שנוצר מחיבור קדקודי מצולע כלשהו עם נקודה הנמצאת מחוץ למישור של המצולע. הנקודה נקראת "קדקוד הפירמידה" והמצולע נקרא "בסיס הפירמידה". הפאות הצדדיות של הפירמידה הן משולשים. כל פירמידה מכונה על פי מספר הצלעות של בסיסה. למשל, פירמידה משולשת היא בעלת בסיס משולש, פירמידה מרובעת היא בעלת בסיס מרובע וכו' )ראה סרטוטים(. גובה הפירמידה הוא אורך הקטע היורד מקדקוד הפירמידה לבסיסה ומאונך למישור הבסיס שלה. זה המרחק בין קדקוד הפירמידה לבסיס שלה )ראה סרטוט(. 6 אם S הוא שטח בסיס הפירמידה ו- הוא גובה הפירמידה, V S $ אזי נפח הפירמידה הוא מקצוע מ קצוע בגוף תלת-ממדי הוא הקו הישר הנוצר במקום המפגש בין שתי פאות. בפירמידה שלעיל הקטע המסומן בקו מודגש " " הוא אחד המקצועות. בתיבה, למשל, יש מקצועות. II III I

17 ציר המספרים ציר המספרים משמש להצגה גאומטרית של יחסים בין מספרים. * המספרים על ציר המספרים גדלים ככל שמתקדמים ימינה. * המרחק בין נקודות על ציר המספרים פרופורציונלי להפרש בין הערכים המספריים המתאימים לנקודות. למשל, המרחק בין הנקודות המתאימות לערכים )-( ו-) -( שווה למרחק בין הנקודות המתאימות לערכים ו מערכת צירים קרטזית במערכת צירים קרטזית במישור יש שני צירי מספרים מאונכים זה לזה. הציר האופקי נקרא ציר ה- x, והציר האנכי נקרא ציר ה-. בציר ה- x המספרים גדלים ככל שמתקדמים ימינה. בציר ה- המספרים גדלים ככל שמתקדמים למעלה. הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים, המסומנים בסרטוט בספרות הרומיות.IV,III,II,I לכל נקודה במישור אפשר להתאים זוג של ערכים x ו-. למשל, ערך ה- x של הנקודה בסרטוט הוא, וערך ה- שלה הוא. ערך ה- x של הנקודה בסרטוט הוא (-), וערך ה- שלה הוא. מקובל לסמן את ערכי הנקודה בסוגריים, ובתוכם ערך ה- x נמצא משמאל לערך ה-, כך: (.)x, למשל, הנקודה תסומן ) (, והנקודה תסומן ).(-, לעתים מכנים את ערכי הנקודה ) x(, בשם "שיעורי הנקודה". הנקודה במישור המתאימה ל- (0 0), היא נקודת מפגש הצירים, והיא נקראת "ראשית הצירים". לכל הנקודות על ישר המקביל לציר ה- x יש אותו ערך, ולכל הנקודות על ישר המקביל לציר ה- יש אותו ערך x. למשל בסרטוט, הישר k מקביל לציר ה-, ולכן לכל הנקודות שעל הישר k יש אותו ערך x. בסרטוט.5 x הישר m מקביל לציר ה- x, ולכן לכל הנקודות שעל הישר m יש אותו ערך. בסרטוט.5 m II III I IV k x x x דרך כל שתי נקודות במישור עובר ישר אחד בלבד. החלק של אותו ישר הנמצא בין שתי הנקודות נקרא קטע. אם הקטע מקביל לציר ה- x, אורכו הוא ההפרש )בערך מוחלט( בין ערכי ה- x של הנקודות. למשל בסרטוט: הקטע מקביל לציר ה- x. ערך ה- x של הנקודה הוא וערך ה- x של הנקודה הוא )-(. ההפרש בין ערכי ה- x של הנקודות הוא 5 (-), ולכן אורך הקטע הוא 5. חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם

18 חשיבה כמותית - מושגים בסיסיים חוברת הדרכה חכי"ם x אם הקטע מקביל לציר ה-, אורכו הוא ההפרש )בערך מוחלט( בין ערכי ה- של הנקודות. למשל בסרטוט: הקטע מקביל לציר ה-. ערך ה- של הנקודה הוא וערך ה- של הנקודה הוא (-). ההפרש בין ערכי ה- הוא 7 (-), ולכן אורך הקטע הוא 7. E F x אם הקטע אינו מקביל לאחד מהצירים )למשל הקטע EF בסרטוט(, אפשר לחשב את אורכו בעזרת משפט פיתגורס: מסרטטים משולש ישר זווית שהקטע הוא היתר בו וניצביו מקבילים לציר ה- x ולציר ה-. אורכו של הניצב המקביל לציר ה- x שווה להפרש ערכי ה- x של הנקודות E ו- F ( ), ואורכו של הניצב המקביל לציר ה- שווה להפרש ערכי ה- של הנקודות E ו- F ).( בעזרת משפט פיתגורס אפשר לחשב את אורכו של היתר: EF + 8 8